Einu sinni var rakari sem rakaði alla karlmenn í þorpinu sem ekki rökuðu sig sjálfir en lét hina alveg eiga sig. Hver ætli hafi rakað þennan rakara? Ef hann rakaði sig ekki sjálfur þá tilheyrði hann hópi sinna eigin viðskiptavina. Ef hann hins vegar rakaði sig sjálfur þá gerði hann það ekki. Samkvæmt framansögðu getur hann því hvorki hafa rakað sig sjálfur né látið hjá líða að raka sig sjálfur. Þverstæður
Þetta er þverstæða, en sem betur fer meinlaus. Af henni drögum við þá einu ályktun að rakari sem rakar alla sem ekki raka sig sjálfir og enga aðra hafi ekki verið til og muni aldrei verða til. En ekki eru allar þverstæður svona meinlausar. Sumar hafa vafist fyrir rökfræðingum öldum saman án þess þeir fyndu neina leið framhjá þeim. Ein sem margir kannast við fjallar um Akkilles og skjaldbökuna og var fyrst rædd, svo vitað sé, af Zenón frá Elea í Grikklandi. Hann fæddist um 490 f. Kr.
Zenón setti þessa þverstæðu fram einhvern veginn svona: Akkilles og skjaldbakan þreyttu kapphlaup. Hlaupabrautin var þrjár mílur og skjaldbakan hafði mílu forskot í byrjun. Meðan Akkilles hljóp fyrstu míluna hljóp skjaldbakan hálfa svo enn vantaði Akkilles hálfa mílu upp á að ná henni. Meðan Akkilles hljóp þessa hálfu mílu hljóp skjaldbakan kvartmílu svo enn vantaði Akkilles kvartmílu upp á að ná henni. Akkilles hljóp kvartmíluna en á meðan komst skjaldbakan áttunda part úr mílu og það sér víst hver heilvita maður að með þessu áframhaldi þurfti Akkilles að leggja óendanlega mörg mílubrot að baki til að ná skjaldbökunni. Hvernig átti honum að endast æfin til þess?
Þetta lítur út fyrir að vera almennileg þverstæða. Hún hefur það megineinkenni þverstæðu að sýna fram á það með rökum, sem virðast alveg pottþétt, að eitthvað sem hlýtur að vera geti alls ekki verið. Auðvitað hlýtur Akkilles að vinna kapphlaupið því hann hleypur helmingi hraðar en skjaldbakan en rök Zenóns virðast sýna að hann geti alls ekki náð henni.
Þessi þverstæða þvældist fyrir mönnum í margar aldir þar til stærðfræðingar áttuðu sig á því að þótt óendanlega margar tölur séu lagðar saman þá þarf útkoman ekki að vera óendanleg. Hugsum okkur að Akkilles hlaupi á hraðanum ein míla á tímaeiningu. Til að ná skaldbökunni þarf hann að hlaupa í 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... o.s.fr. tímaeiningar. En þótt þessi runa sé framlengd í það óendanlega verður summan aldrei meira en 2 tímaeiningar, svo þótt Akkilles þurfi að leggja að baki óendanlega mörg mílubrot til að ná skjaldbökunni þá tekst honum það á endanlega löngum tíma.
Þegar allt kemur til alls er þverstæðan um Akkilles og skjaldbökuna sem sagt álíka meinlaus og sagan um rakarann. En það eru til þverstæður sem eru ekki svona meinlausar og enginn veit almennilega hvernig tekið skal á. Þessar þverstæður eru hið mesta alvörumál því ef það eru til pottþétt rök fyrir niðurstöðu, sem getur alls ekki verið rétt, þá bendir það til að ekki sé hægt að reiða sig á pottþétt rök.
Ein þverstæða sem hefur verið töluvert rædd á okkar öld er svona:
Kennari sagði við nemendur sína: Það verður próf í næstu viku en ég ætla ekki að segja ykkur hvaða dag því prófið á að koma ykkur á óvart. Þá spurði einn nemandinn: Hvernig þá á óvart? Kennarinn svarði: Prófið kemur ykkur á óvart því þegar þið komið í skólann á prófdeginum vitið þið ekki að prófið verður haldið þann dag. Þá sagði nemandinn: Þú getur ekki komið okkur á óvart ef prófið verður á föstudeginum því ef kominn er föstudagur og prófið hefur enn ekki verið haldið og við vitum að það verður áður en vikan er liðin, þá vitum við að það verður þann dag. Föstudagurinn er því útilokaður. Með sömu rökum má útiloka fimmtudaginn. Þar sem við vitum að þú getur ekki haft prófið á föstudag þá gefur augaleið að ef við höfum ekki enn tekið próf þegar við förum heim úr skólanum seinnipart miðvikudags þá vitum við að það hlýtur að vera á fimmtudag. Próf á fimmtudag getur því ekki komið okkur á óvart. Eins má útiloka miðvikudag, því þar sem við vitum að fimmtudagur og föstudagur eru útilokaðir þá vitum við að ef prófið hefur enn ekki verið haldið þegar skóla lýkur á þriðjudaginn þá hlýtur það að verða á miðvikudeginum. Svona hélt nemandinn áfram þar til hann var búinn að útiloka alla daga vikunnar.
Það sem kennarinn ætlaði að gera hlýtur að vera hægt en nemandinn kom samt með "pottþétt" rök fyrir því að það sé ekki hægt. Hér höfum við almennilega þverstæðu og verðum að gera eitt af þrennu:1. Fallast á þá fjarstæðu að ekki sé hægt að koma bekknum á óvart, það er fallast á niðurstöðu nemandans;
2. Segja að pottþétt rök séu ekkert að marka og ganga þannig þvert gegn heilbrigðri skynsemi;
3. Leita að glufu eða galla í rökum nemandans.
Flestir velja líklega fjórða kostinn sem er að brosa að þessu vandamáli og leiða það svo hjá sér. Þannig brugðust trúlega flestir við sögu Zenóns um Akkilles og skjaldbökuna. Af þessu fólki fer litlum sögum. Það nennti ekki að fást við vandamálið og var því ekki með í leiknum. Nokkrir brugðust við með því að fallast á niðurstöðu Zenóns og segja að Akkilles geti ekki náð skjaldbökunni. Þeir gengu raunar lengra og sögðu að enginn hlutur geti nokkurn tíma farið fram úr öðrum og drógu af því þá ályktun að í raun og veru geti enginn hreyfst spönn frá rassi og öll sú hreyfing sem við skynjum sé blekking. Af þessum bollaleggingum leiddi merkilegar stefnur í heimspeki.
Enn eru ótaldir þeir sem leituðu í 2000 ár að glufu í rökum Zenóns. Þeir eiga hrós skilið fyrir þolinmæðina og allar þær framfarir í stærðfræði og rökfræði sem iðja þeirra hefur skilað.